bedingter Erwartungswert

Hat man zwei Zufallsvariablen X und Y mit einer gemeinsamen Verteilung gegeben und weiß man, dass Y den Wert y annehmen wird, so lässt sich die bedingte Verteilung von X bilden, gegeben dass Y=y ist. Der Erwartungswert dieser Verteilung ist der bedingte Erwartungswert von X gegeben Y=y, man schreibt E(X|Y=y).



Beispiel: Bei einem Wurf mit zwei fairen Münzen, bei dem man pro geworfener ""Zahl"" einen Euro bekommt, besteht die erwartete Auszahlung in

,

da man in zwei von vier Fällen eine Zahl hat (erste Münze ""Kopf"", zweite ""Zahl"", bzw. erste Münze ""Zahl2, zweite ""Kopf"") und in einem von vier Fällen beide Münzen ""Zahl"" zeigen. Weiß man aber, dass die erste Münze ""Zahl"" zeigt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Münzen einmal ""Zahl"" gezeigt wird 1/2 (""Kopf - Zahl"") und diejenige, dass zweimal ""Zahl"" gezeigt wird ebenfalls 1/2. Der bedingte Erwartungswert unter der Bedingung, dass die erste Münze ""Zahl"" zeigt, beträgt damit ."